同樣差 1，遠近卻不同：√17 比 √15 更靠近 4，理由在分母裡

15 和 17 分別站在 16 的兩側，各差 1。這道題近日出現在知乎的提問裡，發問的人說是在首頁滑到的，想看看有沒有更嚴謹的解法。答案可以先給：√17 離 4 比較近。左邊的 √15 距離 4 約 0.127，右邊的 √17 距離 4 約 0.123，右邊近了大約 0.0039。多數人的第一反應是「一樣近」，按過計算機的人會答「√17 近」，但兩種回應都缺一塊：前者沒算，後者沒解釋。這道題有趣的地方，就在把缺的那塊補上。

直覺的依據：15 和 17 對 16 完全對稱

會答「平手」並非毫無道理。若題目問的是 15 和 17 誰離 16 近，答案確實是平手，兩邊各差 1，中點正好落在 16。問題出在「開根號」這一步。√x 是一條持續右彎的曲線，凡是彎曲的變換，都會把原本的對稱弄歪：被開方數每前進 1，根號前進的量卻不一樣多。

數字規模一大，直覺常常先失靈。先前在「基因庫太全」的遺傳學檢驗一文裡，也是先把組合數學算清楚，才看得出「14 億張臉什麼都像」這類說法漏掉了什麼。本題的規模小得多，性質卻相同：對稱的感覺來自 15 和 17，結論卻要落在 √15 和 √17 身上，中間隔著一層非線性的變換，憑感覺遞延過去就會出錯。

嚴謹解法：把差距改寫成分數，比大小變成比分母

中學的乘法公式 (a − b)(a + b) = a² − b² 在這裡直接上場。把 4 − √15 乘上 4 + √15，得到 16 − 15 = 1。換句話說：

4 − √15 = 1 ÷ (4 + √15)

右邊如法炮製，(√17 − 4)(√17 + 4) = 17 − 16 = 1，於是：

√17 − 4 = 1 ÷ (√17 + 4)

兩個差距都是「1 除以某個數」的分數，比大小就只剩比分母。√17 比 √15 大，所以 √17 + 4 比 4 + √15 大，分母大的分數反而小，立刻得到 √17 − 4 < 4 − √15。整條推理沒有算出任何一個根號的近似值，結論卻百分之百確定。

還能更快。√15 小於 4，所以 4 + √15 小於 8，那麼 4 − √15 = 1 ÷ (4 + √15) 就大於 1/8；√17 大於 4，所以 √17 + 4 大於 8，那麼 √17 − 4 就小於 1/8。一個比 0.125 大，一個比 0.125 小，中線一畫，勝負揭曉。這條 1/8 的中線其實是把兩個根號都粗估成 4 得來的，兩個分母一個壓在線下、一個越過線上，「找一條讓兩側各站一邊的線」正是比較大小問題的常用套路。

課本裡這套手法叫「有理化」。在只有紙筆的年代，要估 1 ÷ 7.8729… 這種式子，先把分母裡的根號處理掉是最省力的路，它原本是計算工具；到了人人有計算機的時代，它的價值移到推理這一側，本題就是現成的示範。

圖像化解讀：根號的步伐越往右越小

把完全平方數開出來看：√1 = 1、√4 = 2、√9 = 3、√16 = 4、√25 = 5。每往上一階，被開方數要多擠進來的整數越來越多：1 到 4 之間只有 2 和 3 兩個整數，9 到 16 之間擠了 6 個，16 到 25 之間擠了 8 個。同樣長度 1 的根號區間，越往右要裝越多整數，每個整數分到的寬度就越窄。

15 到 16 這一步落在比較陡的路段，16 到 17 這一步落在比較平的路段，所以右邊跨出的距離小於左邊。用登山路來比喻：起點附近每走一格爬升很多，接近稜線後每走一格只抬高些許。微積分的說法是 √x 的導數 1/(2√x) 隨 x 變大而變小，坡度持續變緩，講的是同一件事。

生活裡同一種彎曲隨處可見。考試從 60 分進步到 70 分，與從 90 分進步到 100 分，帳面上同樣是 10 分，代價卻天差地遠；越高分的路段，每 1 分都越難擠出來。√x 只是把這種「越高越難增」的形狀，寫成了一條固定的曲線。

順手再驗一次：乘積落在 2 的 8 次方旁邊

還有一個幾乎不用算的驗法。若 √15 與 √17 真的對 4 對稱，兩數相加應該等於 8。檢驗只要平方一次：(√15 + √17)² = 32 + 2√255。√255 和 16 誰大？兩邊再平方，變成 255 對 256，而 256 = 2⁸ = 16²，於是 √255 < 16，兩根號之和確實小於 8。中點落在 4 的下方，4 偏向右端點，右邊較近。

順帶一提，15 與 17 的幾何平均 √(15 × 17) = √255 也小於 16，連「乘積觀點」的中點都被壓到 16 之下，方向與曲線右彎一致。幾條路都指向同一個結論。

離開考卷，這題還剩下什麼

這道題的訓練價值，在於逼人放下計算機，用一條推理鏈把結論釘死。從有理化到乘積驗算，過程沒有出現任何根號的近似值，卻都能得到確定答案。這是數學裡「估而不算」的基本功：先知道範圍與方向，再談精確。

它會在社羣流傳，配方也單純：先讓直覺答錯，再給一個幾行就能看完的證明，讀完有解謎的滿足感。類似的數字話題在轉傳過程裡經常變形，先前機器人百米紀錄被一路加碼的案例就是一例；答案會傳播，推理過程往往被留在原地。看到這類題目，與其急著選邊，先確認兩邊經過了哪一層變換：線性的世界裡對稱是免費的，開根號、百分比、對數刻度都會收費。

15 和 17 各差 16 一個 1，這個對稱千真萬確；開完根號，對稱只留在被開方數那一側。√17 之所以近一點，因為 16 到 17 那段路走在平緩的坡上。記住答案不難，知道路在哪裡變平，才是這題帶得走的東西。